本文主要研究的是与库存管理有关的三个问题，分别是库存配给(inventory rationing)、订单加速(order expediting)以及库存控制和定价(joint inventory control and pricing)联合决策。针对所讨论的库存系统，我们均运用动态规划来构建相应的最优化问题，分析目标函数的凹凸性(convexity/concavity)、可分解性(decomposition)等，进而得出最优的订货策略(ordering policy)、库存配给策略(rationing policy)、订单加速策略(expediting policy)和定价策略(pricing policy)。 从传统意义上来说，库存为企业应对需求的不确定性或提高其服务水平起到了缓冲作用。一方面，库存量越多，企业满足需求的能力就越强。但是另一方面，库存所花费的成本是不容忽视的，比如企业持有库存的成本包括机会成本(opportunity costs)、存储成本(holing costs)、过时成本(obsolescence costs)、风险成本(insurance costs)、损坏成本(damage costs)等。因此，企业需要选择一个合适的库存水平，既不占用过多成本又不影响为顾客提供一定的服务质量。 在当今激烈的市场竞争环境下，顾客服务受到企业的重视，变得越来越重要。一方面，通常情况下顾客对产品和服务的需求存在差异性，企业可以按照这种差异将顾客分为各种类型，对不同的顾客类型提供特定的产品和服务。美国市场学家温德尔·史密斯(Wendell R.Smith)于20世纪50年代中期提出“客户细分”的概念，把顾客根据某些标准划分为不同的顾客群，比如按照顾客收入、性别、对企业的价值等进行细分。另一方面，由于资源的有限性，任何一个企业都不可能独立满足整个市场的顾客需求。为了取得和巩固自己的竞争优势，企业应当集中资源服务对其自身最有吸引力的细分顾客市场。 其中，顾客服务的一个重要方面是产品可得性，即当顾客的需求产生时，企业具有的可以向顾客提供足够产品的库存能力。换句话说，产品可得性与企业库存系统的服务水平紧密相关。一般地，企业的平均库存水平越高，越有可能对顾客或核心顾客保证高水平的产品可得性，使得顾客享受到的服务水平越高。然而，并不是每个顾客都需要同样的服务水平。考虑一个需求积压的库存系统，企业可以按照积欠成本的不同对顾客需求进行分类。高积欠成本的需求类代表此类顾客要求的服务水平高，而且，要求高水平服务的顾客通常愿意为此付出比其他顾客更高的价格。这就意味着企业可以制定一些战术性决策，利用差异化的产品定价策略和库存配给策略，满足不同类型的顾客需求，尽可能地扩大市场份额，增加收益。例如，当只有少量库存时，企业可以提高产品价格，使顾客需求减少至可供应水平，以攫取最大化利润。或者，企业可以选择拒绝满足当前低积欠成本的 顾客产生的需求，而保留此部分库存为未来可能发生的高积欠成本的需求类服务，这是库存配给策略的一个显著特点。库存配给和订单加速问题在现实中广泛存在，许多企业会把同一个产品的总需求分为若干个顾客需求类，按照需求类的优先等级进行订单处理。如果现有库存无法满足优先级高的需求类，那么企业可以选择多付一部分费用以加快订单的运送。考虑一个零部件库存系统，该零部件被用来修复企业的几种产品，不同的产品对企业的重要性不同。在修复工作中很可能发生的一种情况是，该零部件的库存不足以同时满足这几种产品的修复需求，那么企业不得不做出库存配给策略(inventory rationing policy),决定这几种产品的先后修复次序。Ghosh et al.(2015)给出了一个汽车企业区域仓库分配零部件的实例，该仓库将需求类分为三种：正常(normal)、紧急(urgent)、特急(emergency)。只有当库存水平高于保留库存水平(reserve inventory level)时，到来的正常需求才会立刻得到满足，否则正常需求将被积压。区域仓库保留的基准库存是用来满足紧急需求的，如果区域仓库的库存水平为0,那么紧急需求类也会被积压，同时区域仓库从总部的补充订货(replenishment orders)会被加快处理。特急需求指的是该零部件被用于价值非常高的产品，但特急需求发生的概率很低，所以直接用总部的中央仓库库存满足。类似的库存配给策略也被用于军用原材料管理中零部件的库存控制(Deshpande et al.2003)。 本文第二章考虑的是Topkis(1968)提出的经典单期动态库存配给问题，将该期分为有限多个时间间隔，若当前时间间隔内到来的需求未被满足，则积压至下一个间隔。相反，若当前间隔内库存有剩余，则累计入下一个间隔。根据单位积欠成本的不同，把需求分为若干个需求类。同一个时间间隔内的需求可以彼此相关但不同时间间隔的需求相互独立。我们假设单期内不订货，仅考虑如何恰当地把现有库存分配给各时间间隔内到来的需求类。具体来说，我们的目标是最小化总期望库存成本，包括所有需求类的积欠成本和所有间隔内的库存持有成本。 Topkis(1968)得出的结论是，此库存配给问题的最优策略是一种关键库存配给水平策略(critical rationing level policy,CRL)。在此策略下，每个需求类都有与此相对应的关键库存配给水平(critical rationing level)。当某需求类的需求到达时，只要现有库存量不低于该需求类的关键库存配给水平，并且不存在未满足的更高积欠成本需求类的需求，那么最优策略是以可用库存尽可能多地满足该需求类的需求。但是，这个结论并不能帮助我们简化求解动态规划方程，多维的状态变量带来了维数灾难，导致不能用简单的方法计算出目标函数和关键库存配给水平的数值。事实上，Topkis(1968)声称，“当考虑积欠库存系统时，动态规划方程的计算量很大，难点在于似乎没有办法避免多变量函数的递归计算。当n很大时，需要 的计算量难以承受”。我们知道，如果目标函数具有可分解性，那么该性质可以大大简化计算量。此时，一个问题自然浮现：是否有可能在积欠库存系统下得出目标函数可分解的性质，即把目标函数分解成若干个单变量函数的和？ 目前有很多研究多个需求类库存配给问题的文献，分别针对两类系统：连续盘点和周期盘点库存系统。多数学者分析连续盘点库存系统时只考虑两种需求类，例如，Teunter and Haneveld(2008)假设最多有一个在途库存，分析单期的积压库存模型。Vicil and Jackson(2016)假设这两种需求类各自要求特定的服务水平，采用(S-1,S)订货策略和一个静态的关键库存配给水平策略(a static threshold allocation policy)。至于周期盘点库存系统，如果订货即刻到达(提前期为0)，那么关键库存配给水平策略(CRL policy)是最优的，但当订货提前期不为0时，动态库存配给问题变得复杂，Yu and Huang(2012)证明了通常这种情况下最优策略与状态相关。在本章，利用一个新的状态转换方法，即把积压需求视为“库存”而把库存视为“需求”，我们可以将目标函数分解为若干个单变量凸函数的和。该可分解特性是本章的主要贡献，使我们能够有效地计算目标函数和最优的库存配给水平。我们发现，在新的转换状态下，最优的库存配给策略是一种嵌套式关键库存配给水平策略(a nested CRL policy)。此外，我们还可以将得出的结论分别推广到考虑外部供应(exogenous supply)、需求类优先级可变(priority upgrading)的库存系统：(1)考虑外部供应并不会对最优库存配给策略的结构产生影响；(2)当顾客愿意以某个固定的价格升级自己所处的需求类时，我们可以证明最优的升级策略是一种梯级基本库存策略(an echelon base stock type policy)。 第三章在第二章的基础上加入了两个新的决策变量，库存订货和订单加速，分析一个多需求类的多期积欠库存系统怎样协调每期的订货、订单加速和库存配给三种决策。假定订货提前期为非零常数，订货成本是一个线性函数，每期可以订货的数量不受限制。与Kim et al.(2015)相似，我们假设可以对处于任意提前期位置(leadtime position)的在途库存加速运输。显然，不允许订单加速的库存系统是我们本章模型的一个特例。本章有以下三个方面的目的：(1)最小化整个规划期内的总库存成本(包括订货成本、持有成本、积欠成本、加速成本)，得出最优的订货、加速和配给三种策略；(2)讨论不同的订货、加速和配给成本是怎样影响最优策略的；(3)分析什么情况下一个简单的、与状态无关的策略是最优的，为进一步设计有效的启发式策略做参照。然而，库存订购、加速和配给三种策略之间的关系可能比较复杂，尤其是当考虑到订货提前期为非零常数的假设时。除了现有的可用库存，每期的需求也可以用加速后到达的订单来满足，因此当订货提前期不为零时，最优的订货、加速和配给三种策略都可能与所有的在途库存有关。据我们所知，针对这样一个订货提前期为非零常数、有限期的多需求 类库存问题，目前还没有学者给出最优的订货、加速和配给三种策略的结构。但不可否认这类库存问题在企业的实践中是存在的，如果能解决这个问题，应该可以为企业管理这样的库存系统提供一些思路。 首先，利用一个新方法对状态变量进行转换后，我们证明了所研究的库存系统目标函数的L〓凸性。这一性质曾被Chen et al.(2014)用在近似算法的设计中。如果订单加速成本是凸函数，那么最优库存配给策略一定是先满足单位积欠成本最高的需求类，其次是单位积欠成本较低的需求类，按照成本从高到低的顺序依次满足；最优订单加速策略是先对位于最低提前期位置的订单加速，再对较高位置的订单加速，按照订单所处的提前期位置从低到高开始加速。然后，从这一结论出发，我们进一步得出了最优订货、加速和配给策略的部分结构。最优的订货策略是一种状态依赖的基本库存策略(a state-dependent base stock policy),最优的基本库存水平与各需求类的积压库存数量及各提前期位置上的在途库存有关。最优的订单加速策略是一种状态依赖的嵌套式阈值水平策略(a state-dependent nested threshold policy)：(1)每一个提前期位置都存在一个状态依赖的关键库存配给水平与之对应；(2)如果现在的库存位置低于此关键库存配给水平，那么将在途库存加速使库存达到此关键库存配给水平是最优的。至于最优的库存配给策略的结构则是：(1)对每一个需求类都有一个对应的库存配给水平；(2)为满足某个需求类的需求，使库存水平高于该需求类的配给水平是最优的。我们也给出了最优订货、订单加速和库存配给策略的一些单调性质，在计算最优策略时可以用来减少复杂度。此外，我们还发现最优库存配给策略下的最优配给水平与各需求类的积压库存数量无关。也就是说，我们在计算最优配给水平时可以不考虑需求状态。这样一来，我们就把Topkis(1968)文中最优配给水平与积压库存数量无关的结论延伸到了有订货提前期的库存系统。特别地，我们的结论意味着如果提前期为零，那么在有订货决策的情况下最优库存配给策略也与状态无关。再则,如果最大的订单加速成本低于最小的库存积欠成本，那么目标函数是可分解的，可以表示成若干个单变量凸函数的和，并且最优订货策略是与状态无关的基本库存策略(a base stock policy),最优配给策略是关键库存配给水平策略。在此之后，我们分析了不允许订单加速的特例，证明了当最小的库存积欠成本足够大和初始库存足够多时，基本库存策略和关键库存配给水平策略近似最优。最后，为验证本章的理论分析结果，我们进行了数值实验，发现在不同的变量取值下，与状态无关的基本库存策略和关键库存配给水平策略接近最优策略。 除了库存配给，企业还可以选择另外一种方式，定价，为不同需求类提供服务。比如，企业可以对要求即时服务的顾客定价高于要求普通服务的顾客。这种现象在许多行业中都存在，航空公司对同一班飞机同样的座位的售价通常是不同 的，离航班飞行日期越近，售价可能越高；网上零售商亚马逊提供差异化的快递服务，普通快递和特急快递。得益于信息技术的迅猛发展，企业可以根据需求的季节性、库存水平、生产计划等轻易快速地调整产品定价。利用动态定价，企业可以影响不同时期顾客的需求量，更好地调节供应与需求之间的关系。实践中，许多企业如Dell,Amazon,FairMarket,Land's End和J.C.Penney(Elmaghraby and Keskinocak 2003，Chan et al.2004)已经采取了基于库存水平的动态定价策略。学术界不少学者从理论角度论证了企业可以通过综合考虑库存和定价策略而显著地提高收益。一个常见的库存控制和定价联合策略是基本库存标价策略(base-stock list price policy,BSLP),该策略的结构相对简单，便于在实际中执行。这个策略中有一个基本库存水平(a base-stock level),每次当现有库存低于此基本库存水平时，企业应该订货使库存水平提高至基本库存水平，并以相应的标价(a list price)作为产品价格。相反，如果现有库存高于此基本库存水平，那么企业不必订货且产品定价与库存水平呈负向相关。但是，BSLP策略并不总是最优的。因此，为了确保BSLP策略的有效性，我们有必要分析一下在什么情况下该策略是最优的，以便为实际施行该策略提供有用的参考。 在过去的十年里，库存和定价的联合优化在学术界得到了很大的关注。很多学者把注意力放在验证BSLP策略的最优性上。但是现有文献并未解决以下两个问题：(1)研究积压库存系统时对需求函数的形式做出的假设过强；(2)销售损失库存系统非常适用于零售业，可惜目前得到的结论很少，有待进一步深入分析和挖掘。具体来说，学者们考虑积压库存系统时通常假设以下三种形式的需求函数：相加(additive)、相乘(multiplicative)和广义相加(generalized additive)。除此之外的需求函数形式下，BSLP策略是否仍然最优的研究非常少。分析销售损失库存系统时，即使是最简单的相加需求函数假设下，目前也没有学者指出什么情况下BSLP策略是最优的，更不必说当需求函数是一般形式时(general demand functions)。需求函数形式的一般性和销售损失库存系统里的收益函数(revenue fimctkm)是造成(1)(2)问题的主要原因，更确切地说，当需求函数是一般形式时，因为两个凹函数的复合函数通常并不是凹函数，我们很难证明积压库存系统里的单期期望收益函数的联合凹性；销售损失库存系统里每期的收益函数都与库存水平有关，因此也可能不是凹函数。为了解决这些与凹函数有关的难点，我们利用需求函数对随机噪声的单调性。 因此，本文第四章致力于分析对于一般形式的需求函数，什么情况下BSLP策略是最优的。关于需求与价格和随机噪声之间的关系，我们只做出基本假设，对具体的需求函数形式不做要求。本章考虑了两种库存系统：订货提前期为零的单级积压库存系统和销售损失库存系统。利用前文提到的需求函数对随机噪声的单调性，我们可以得出一般形式的需求函数下，BSLP策略在什么条件下是最优的。具体来说，在积压库存系统中，如果需求函数在价格上单调减、在随机噪声上严格单调减(增)且价格敏感度有USDP(LSDP),那么BSLP策略在每一期都是最优的。这里，USDP(LSDP)是我们引入的新概念，指的是上闭或下闭集合递减性质(upper-set/lower-set decreasing property)，属于广义的一阶随机占优(first-order stochastic dominance)。如果需求函数对价格的敏感度在价格上随机增加(减少)，那么价格敏感度一定有LSDP(USDP)。所以如果需求函数在价格上是凹的，那么它的价格敏感度一定有LSDP和USDP。然而，反过来说，需求函数对价格的敏感度有USDP/LSDP不一定要求需求函数在价格上是凹的。当需求函数在价格上是凸的，它的价格敏感度也可能有USDP/LSDP。除了引入USDP(LSDP),我们还对动态规划方程式进行了一个等价转换，如果不进行变换，想要得到BSLP策略最优性的充分条件是很难的。在销售损失库存系统中，我们给出BSLP策略最优性的充分条件如下：(1)需求函数在价格上单调减、在随机噪声上严格单调减(增)且价格敏感度有USDP(LSDP);(2)单期期望收益函数在价格和库存水平上是次模函数(submodular)。考虑单期库存系统时，Kocabiyikoglu and Popescu(2011)给出的BSLP策略最优性的充分条件是，需求函数在价格上减、在随机噪声上增、无风险收益函数在价格上凹，以及单期期望利润函数在价格和库存水平上是次模函数。不同的是，我们考虑多期库存系统且要求需求函数的价格敏感度具有USDP/LSDP,这一条件可以保证无风险收益函数在价格上的凹性质。最后， USDP/LSDP也可以用到其他的运作管理问题上，比如，需求依赖于库存的或者需求依赖于质量的积压库存系统和销售损失库存系统，在这两种情况下，我们利用USDP/LSDP分别证明了最优策略是库存依赖的基本库存策略(inventory-dependent base-stock policy)和基本库存标质策略(base-stock list quality level policy)。

 In practice, there are many situations where customers can be classified into different classes. For example, customers may have different service level requirements, profit margins, priorities (e.g., for spare part services, some demands may be more important than other demands), etc. This thesis mainly concentrates on the problem of how to satisfy demands from distinct customer classes, either by inventory rationing or by dynamic pricing. In the former, customer classes are characterized by their backlogging costs. In the latter, customers can be regarded as in the same class if they pay the same price. Chapter 1 gives a brief introduction to the research background and the problems studied in the following chapters. In Chapter 2, we revisit the classical model in Top-kis (1968). Topkis (1968) shows the optimality of the critical rationing level policy for an inventory system with multiple demand classes. However, even with this result, the corresponding dynamic programming problem for the backordering setting is stil-1 multidimensional and computationally challenging, which limits its applicability in practice. Under a novel state transformation, we are able to show that the corresponding value functions are decomposable, i.e., each of them can be expressed as the sum of single-variable convex functions. We show that alternatively, the optimal inventory allocation policy can be described by a nested base stock policy under our transformation. Our approach allows us to extend the results to the models with exogenous supply and priority upgrading. In some cases, customers require fast shipping/logistics in addition to product availability. As a commonly observed practice, order expediting has been used by firms to shorten the lead time and maintain fast response to demands. Therefore in Chapter 3,we focus on how to coordinate inventory ordering, expediting and rationing within the context of multiple demand classes. Through a novel transformation method of state variables, we first prove the L〓-convexity for the value function of the underly- ing inventory system. Then with a convex expediting cost structure, we show that it is optimal to sequentially fulfill demands with higher unit backordering costs first and expedite inventory from lower leadtime positions first. Based on these results, we then partially characterize the structure of the optimal ordering, expediting and allocation policies. The optimal expediting policy can be described by a state-dependent nested threshold policy. It is optimal to use a state-dependent inventory rationing policy for inventory allocation. For the ordering decision, a state-dependent base stock policy is optimal and the optimal base stock level depends on both the amount of backorders in different demand classes and inventory levels of leadtime positions. Furthermore, we also obtain a series of monotone properties regarding the optimal ordering, expediting, and allocation decisions, which are useful in reducing the computational complexity. We can further simplify the optimal policies under various special settings of our model. Finally, we consider another way to differentiate customers, pricing. Chapter 4 investigates the problem of coordinating inventory and pricing decisions with general demand functions. We show for the backorder setting that a BSLP policy is optimal if demand functions are decreasing in price and strictly decreasing (increasing) in the realizations of random noises, and their sensitivities in price have the upper-set (lower-set) decreasing property (USDP/LSDP). For the lost-sales setting, a BSLP policy is proved to be optimal if (ⅰ) demand functions are decreasing in price and strictly decreasing (increasing) in the realizations of random noises, and their sensitivities in price have the USDP (LSDP), and (ⅱ) the single-period expected profit function is submodular in price and inventory level. Moreover, the proposed concept of USDP/LSDP can be applied to other operations management problems. For example, the backorder/lost-sales inventory system with inventory-dependent demand or quality-dependent demand.